logarithme
Définition
En mathématiques, un logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation. Plus précisément, le logarithme en base b d'un nombre x (noté log_b(x)) est l'exposant auquel il faut élever la base b pour obtenir x. Par exemple, puisque 10³ = 1000, alors log₁₀(1000) = 3. La base la plus courante est 10 (logarithme décimal, noté log), mais on utilise aussi la base e ≈ 2,718 (logarithme népérien, noté ln) en sciences. Les logarithmes transforment les multiplications en additions (log(a×b) = log(a) + log(b)) et les puissances en multiplications, ce qui les a rendus historiquement précieux pour simplifier les calculs avant l'invention des calculatrices. Ils sont essentiels pour modéliser des phénomènes à croissance exponentielle (comme les populations ou les intérêts bancaires) ou décroissance (comme la radioactivité).
Définition simple
Le logarithme d'un nombre répond à la question : 'À quelle puissance dois-je élever un nombre fixe (la base) pour obtenir ce nombre ?' C'est l'opération inverse de 'mettre à la puissance'.
✏️Exemples d'utilisation
- •"log₁₀(100) = 2, car 10² = 100."
- •"Si la population de bactéries double toutes les heures, le temps nécessaire pour atteindre une taille donnée se calcule avec un logarithme en base 2."
- •"Résoudre 2ˣ = 32 revient à calculer x = log₂(32), ce qui donne 5 car 2⁵ = 32."
💡À retenir
Les logarithmes ne sont pas qu'une curiosité mathématique. Ils sont omniprésents : l'échelle de Richter pour les séismes et l'échelle des décibels pour le son sont logarithmiques. Cela signifie qu'une augmentation de 1 sur l'échelle de Richter correspond à une multiplication par 10 de l'énergie libérée. Ils permettent de représenter sur un même graphique des valeurs très petites et très grandes, et de linéariser des courbes exponentielles, facilitant ainsi leur analyse.
