majorée
Définition
En mathématiques, une fonction est dite "majorée" lorsqu'il existe un nombre réel M tel que, pour toutes les valeurs de x dans son ensemble de définition, f(x) est inférieur ou égal à M. Ce nombre M est appelé "majorant" de la fonction. Graphiquement, cela signifie que toute la courbe représentative de la fonction se situe en dessous (ou au niveau) d'une certaine ligne horizontale d'équation y = M. Par exemple, la fonction cosinus est majorée par 1 car cos(x) ≤ 1 pour tout x réel. Cette notion est fondamentale en analyse car elle permet d'étudier le comportement des fonctions et de déterminer si elles admettent des limites ou des bornes supérieures. Une fonction peut être majorée sans pour autant atteindre son majorant, comme c'est le cas pour la fonction f(x) = 1/x sur l'intervalle ]0, +∞[ qui est majorée par n'importe quel nombre positif mais n'atteint jamais 0.
Définition simple
Une fonction est majorée quand on peut trouver un nombre tel que toutes ses valeurs sont plus petites ou égales à ce nombre. C'est comme si on pouvait tracer une ligne horizontale au-dessus de toute la courbe.
✏️Exemples d'utilisation
- •"La fonction f(x) = -x² est majorée par 0 car pour tout x réel, -x² ≤ 0."
- •"La suite définie par uₙ = 1/n est majorée par 1 puisque tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 1."
- •"La fonction sinus est majorée par 1 car sin(x) ≤ 1 pour tout angle x."
💡À retenir
La notion de fonction majorée est essentielle pour comprendre les limites et la continuité des fonctions. Elle permet de classer les fonctions selon leur comportement et de déterminer si elles sont bornées. En pratique, prouver qu'une fonction est majorée aide à résoudre de nombreux problèmes d'optimisation et d'analyse. Cette propriété est souvent utilisée dans les théorèmes fondamentaux comme le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème de Bolzano-Weierstrass.
