dérivée
Définition
En mathématiques, la dérivée d'une fonction en un point est un nombre qui mesure le taux de variation instantané de cette fonction en ce point. Concrètement, elle représente la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point considéré. Si on imagine une courbe tracée sur un graphique, la dérivée en un point A nous dit à quelle vitesse la fonction monte ou descend précisément en A. Un exemple classique est celui de la vitesse instantanée : si une fonction f(t) donne la position d'un mobile en fonction du temps t, alors sa dérivée f'(t) donne la vitesse instantanée de ce mobile à l'instant t. La dérivée est l'outil fondamental du calcul différentiel, permettant d'étudier les variations d'une grandeur, de trouver ses extremums (maximums et minimums) et de modéliser des phénomènes changeants en physique, économie ou biologie.
Définition simple
La dérivée d'une fonction en un point, c'est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à sa courbe en ce point. Elle indique si la fonction augmente, diminue, ou est stable à cet endroit précis.
✏️Exemples d'utilisation
- •"La dérivée de la fonction f(x) = x² est f'(x) = 2x. En x=3, la dérivée vaut 6 : la pente de la tangente est forte et positive."
- •"Si la distance parcourue par une voiture est d(t)=5t², sa vitesse instantanée v(t)=d'(t)=10t. À t=2 secondes, la vitesse est de 20 m/s."
- •"Pour une fonction constante f(x)=5, la dérivée est f'(x)=0 partout : la pente est nulle, la courbe est une ligne horizontale."
💡À retenir
Il est crucial de distinguer la dérivée (un nombre en un point) de la fonction dérivée (une nouvelle fonction, notée f', qui à chaque x associe la dérivée de f en x). Le calcul de la dérivée, ou dérivation, utilise des formules spécifiques selon le type de fonction (polynôme, racine, inverse...). Une dérivée nulle en un point suggère souvent un sommet ou un palier sur la courbe. Cet outil est indispensable pour optimiser des situations concrètes, comme trouver les dimensions d'une boîte de volume maximal.
