différenciables
Définition
En mathématiques, au niveau collège, l'adjectif "différenciables" qualifie principalement des fonctions dont on peut calculer la dérivée en tout point de leur domaine de définition. Une fonction est dite différentiable en un point si sa courbe représentative admet une tangente non verticale en ce point, ce qui signifie qu'elle présente un comportement localement linéaire. Graphiquement, cela se traduit par une courbe "lisse" sans cassure, angle ou discontinuité. La différentiabilité implique la continuité : si une fonction est différentiable en un point, elle est automatiquement continue en ce point (mais l'inverse n'est pas toujours vrai). Cette notion est fondamentale en analyse car elle permet d'étudier les variations locales des fonctions, leurs extremums et leurs approximations linéaires. Les fonctions polynomiales, sinus, cosinus et exponentielles sont des exemples classiques de fonctions différentiables sur ℝ.
Définition simple
Une fonction est différentiable si on peut tracer une tangente à sa courbe en chaque point, sans cassure ni angle. Cela permet de calculer sa pente (dérivée) partout. C'est comme une route bien lisse où on peut toujours trouver la direction instantanée.
✏️Exemples d'utilisation
- •"La fonction f(x) = x² est différentiable sur ℝ : en tout point, sa courbe admet une tangente."
- •"La fonction valeur absolue g(x) = |x| n'est pas différentiable en 0 : la courbe forme un angle pointu."
- •"La fonction h(x) = √x est différentiable sur ]0,+∞[ mais pas en 0 où la tangente est verticale."
💡À retenir
La différentiabilité est une propriété plus forte que la continuité. Une fonction peut être continue (tracée sans lever le crayon) mais non différentiable si elle présente un point anguleux (comme la valeur absolue en 0) ou une tangente verticale. Au collège, on rencontre surtout des fonctions différentiables partout, sauf éventuellement en quelques points particuliers. Cette notion prépare à l'étude approfondie des dérivées au lycée.
