croissante
Définition
Une fonction est dite « croissante » sur un intervalle lorsque, pour deux nombres quelconques de cet intervalle, si le premier est inférieur au second, alors l'image du premier par la fonction est inférieure ou égale à l'image du second. En langage plus simple, cela signifie que lorsque la variable (souvent notée x) augmente, la valeur de la fonction (souvent notée f(x)) augmente aussi ou reste stable, mais ne diminue jamais. On distingue parfois la croissance « stricte » (où f(x) augmente forcément quand x augmente) de la croissance « large » (où f(x) peut aussi rester égale). Graphiquement, sur l'intervalle considéré, la courbe représentative de la fonction « monte » ou « est horizontale » lorsqu'on la parcourt de gauche à droite. Cette notion est fondamentale pour décrire et analyser les variations d'une grandeur en fonction d'une autre, que ce soit en mathématiques, en sciences physiques ou en économie.
Définition simple
Une fonction est croissante quand, si on prend des nombres de plus en plus grands pour x, les résultats f(x) obtenus sont aussi de plus en plus grands (ou parfois égaux). Sa courbe monte quand on la regarde de gauche à droite.
✏️Exemples d'utilisation
- •"La fonction f définie par f(x) = 2x + 3 est strictement croissante sur ℝ : si x augmente, 2x+3 augmente forcément."
- •"La fonction g définie par g(x) = x² est croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[ mais décroissante sur ]-∞ ; 0]."
- •"Le prix total à payer dans un magasin est une fonction croissante de la quantité achetée : plus on achète d'articles, plus le prix total est élevé."
💡À retenir
Il est crucial de préciser l'intervalle sur lequel on étudie la croissance : une fonction peut être croissante sur une partie de son domaine de définition et décroissante sur une autre. La croissance se vérifie en comparant systématiquement les images de deux nombres. En analyse, la dérivée est un outil puissant pour étudier les variations : si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction y est croissante. Cette propriété est réversible pour les fonctions dérivables.
